1) с надеждой He set to work hopefully. ≈ Он с надеждой принялся за работу.
2) надо надеяться; будем надеяться Hopefully, listeners will enjoy hearing about this topic. ≈ Надо надеяться, что слушателям понравится эта тема. The present epidemic, hopefully, seems to be on the downswing. ≈ Надо надеяться, что нынешняя эпидемия пойдет на убыль.
с надеждой - he looked at me * он с надеждой посмотрел на меня вселяя надежду, благоприятно - things were turning out * развитие событий обнадеживало надо надеяться, как можно надеяться; я надеюсь, мы надеемся - * we will get to the show on time надо надеяться, что мы не опоздаем на представление